债券久期越长波动越大还是越小（债券久期和利率的关系）
Duration，久期，是固定收益课程中最为核心的概念。从固定收益上课的第一天，这个知识点就一直伴随着CFA考生左右。Duration是用来衡量债券的利率风险的。那么为什么又说如果欠别人1000元，选择一年还500元的方式比起最后一次性还1000元的duration小呢？又是风险度量，又体现时间跨度。Duration到底在说些什么？
下面我们具体来看下duration的定义公式及其分类。
Duration的定义和公式
1、 Duration is a measure of the price sensitivity of a security to changes in yield. 久期就是债券价格相对于债券收益率的敏感性。
即，其中，是债券价格变化的百分比，是收益率的百分比变化，所以久期又可近似看成收益率变动1个百分点（或者100个基点）时价格的百分比变化。
2、三种久期:
有效久期Effective duration 或可回售债券（putable bonds）。
麦考林久期Macaulay duration 变动不影响现金流的情况（即没有内嵌期权）。
修正久期Modified duration 。比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05.
3、使用前提： yield curve的平行移动，才可以用Duration来衡量。而且衡量不含权债券的时候用麦考林D和modify D，而衡量含权债券的时候用ED。
4、浮动债券Floatingbond的久期有两种情况
（1）如果在重置日期（Reseting day），也就是刚付完利息，在起始点的时候久期为0；
（2）在2个付息日之间，duration就是付息期时间的长度。假如：假如：180天付息，持有了30天，那么久期是150天。
5、含权债券的久期小于不含权债券的久期。
6、零息债券的久期最大，利率风险也最大。
美元久期（Dollar Duration）
1、Dollar Duration is the approximate price change in dollars in response to a change in yield of 100 basis points 时，债券价格的变化值。计算公式就是：美元久期≈久期×债券价格×1%
2、Dollar Duration≈D*P*1%
3、溢价发行的债券Dollar Duration大于折价发行的债券久期。
久期和凸度（convexity）
1、Duration适用于yield curve小幅度的平行移动。当移动幅度较大时（如2个百分点），则duration对价格变动的估算准确度大幅下降。
2、Yield curve移动幅度越大，价格曲线的凸度（convexity）越大, duration的估算精确度就越低。
3、不论yield变动的方向，用duration所估算的价格始终低于实际的价格。
资产组合的久期（Portfolio Duration）
1、投资组合的久期是单个资产久期的一个加权平均，其中，权重是各个资产在组合中所占的市值权重。
portfolio duration = W1D1+ W2D2+ ...+WnDn
2、反向浮动的duration是需要考量权重的。例如，有一个息票率为12%的债券，久期等于3，之后做了一个反向浮动债券。变成LIBOR+（12%-LIBOR）这个投资组合，所以把LIBOR作为组合的一部分，duration为0，权重为1/4；（12%-LIBOR）作为组合第二部分,权重为3/4 → portfolio duration是0*W1+X*W2=3，可以求出（12%-LIBOR）这个组合为4
3、缺陷：资产组合的久期，需要假设组合中的所有债券同时同向移动，比如同时移动100个基准点basis point（即收益率曲线yield curve的一个平行移动）。很多时候因为不同的债券有不同的到期日，信用风险以及含权情况不同，收益率曲线并不是平行移动的。在这样的情况下，portfolio duration不适用。
以上是所有久期的定义和公式，下面我们来看两三道例题，来体会一下久期的应用吧。
久期的应用
Example 1:
The duration of an option-free bond priced at $900 is 8.5. If yields decrease by 150basis points, the most accurate statement about the actual price of the bond after the decrease in yields is that the actual price will be:
A. Equal to $1,014.75.
B. Greater than 1,014.75.
C. Less than 1,014.75 because the lower level of yields increases the bond's interest rate risk.
Answer: B
✍这道题我们首先要理解duration的概念，知道它代表的是yield变动100个基点带来的债券价格的percentage变动。
The price adjustment for duration can be calculated as follows:
8.5 X ，只有ED适用于有embedded options的债券。
Example 3
The table below provides information about a portfolio of three bonds.
Based on this information, the duration of the portfolio is closest to:
A. 9.35
B. 9.48
C. 9.74
Answer:A
✍这道题要求我们计算portfolio duration. 陷阱在于权重的计算。注意权重的计算须要用总市值作为分母。
✍在具体计算的时候，要了解 par amount的含义，这是很多考生迷惑的地方。这里的par amount指的是以par发行时候的value, 如果债券面值是$100，那么发行的数量就是par amount/100, 所以某种债券现在的市值就是price*（par amount/100）。
根据题目，我们可以都出portfolio的总市值
=109.2461*16000000/100+100.4732*4000000/100
+84.6427*8000000/100=28269720
各portfolio的权重：
W1=09.2461*16000000/28269720=61.83%；
W2=100.4732*4000000/28269720=14.22%;
W3=84.6427*8000000/28269720=23.96%
Portfolio duration=61.83%*8.56+14.22%*9.19+23.96%*11.48=9.35
看了以上关于债券久期的分析以及应用知识， 你搞懂这个知识点了吗？或有什么感想？