基础数学是一门对天赋要求极高（基础数学研究生就业方向）
作者 | 何通木
来源 | 知乎
大家好，我是来自清华大学数学系的准大四学生何通木。学了三年现代数学，我想把自己的一些感悟记录下来。回头看这三年，觉得走了很多弯路、做了很多意义不大的事情，想来是跟学长、老师们的深层次沟通少了，所以想用剖析自己的经历、优缺点的方式，向大家展示一个天分普通的学生的本科学习历程，希望后来人能够更好地利用这三年时间。
对于不想从头看到尾的同学，可以根据目录挑选想看的部分，也可以只看第八节：修习顺序建议。以下观点仅为个人观点，欢迎大家讨论！
目录
一、指导思想
二、最基本的语言：数分、线代、抽代、拓扑、流形
三、启发性的直观：黎曼曲面、微分拓扑、微分几何
四、大一统的理论：代数拓扑、代数几何
五、辅助性的工具：同调代数、交换代数
六、数学的皇后：代数数论
七、准备丘赛
八、修习顺序建议
九、附录：课程大纲
一、指导思想：广度优先
为什么我是大三结束的时候来写这篇建议呢，因为到了大四大家已经要开始准备自己那一个小方向的毕业论文了，前三年才是基础数学的基础性学习阶段。老师们都说，在本科时候要多学点东西；丘成桐先生也经常说，数学家至少要精通两个方向，才有可能发现不同方向的联系，才能做出大成就。“发现不同学科的联系”是我逐渐领悟到的努力目标，其本质是更好地理解数学，同时也是把冗余的东西缩并起来，化归到自己原有的知识体系中。
所以这篇建议的（来源于我的）局限性在于“广度优先”的指导思想，我还不能理解很多同学（他们往往都是天赋异禀的）很早就瞄着代数几何或者代数拓扑或者分析一直往深处学的这种行为，我也尝试过拿起一本书从头学到尾，但是往往会被突然出现的新概念所挫败，非常不理解研究它的动机，从而再往深学就成了某种机械性地强迫性行为（但我想，他们肯定是看破了这种动机）。另一个局限性就是，我分析学得不好。
我大一至大三，三年时间共修了31门数学课：
分析类：数学分析
（非本校的同学欲知课程大纲可以参看附录）
二、最基本的语言：数分、线代、抽代、拓扑、流形
我们一入学就会听老师说数分和线代是你学其他一切数学的基础，我想这句话中的“一切数学”必定包括了概率、统计与应用，但如果局限在基础数学上的话，必定要加上抽代和拓扑。
大一的时候，老师叫我们不要选更多课了，专心学好数分和线代，作为刚入学的新生怀着对未知事物的敬畏，我也就只选了数分和线代。现在看来，老师的话对于大部分同学来说是对的，因为很多同学不适应这种与高考数学截然不同的思维方式，很多人甚至没能在期中考试中及格；但很幸运的是我上手很快，可能是因为我高中的时候就已经看了半本卓里奇。
由于只选了两门课，课后的时间就拿来做卓里奇的习题。现在看来，尽管卓里奇的习题很多都是今后可能会学的数值分析、大学物理里面的内容，但是所产生的作用也就只有习题的作用。我花费了大量的时间在上面，经常花整个半天在一道题目上，不是说这样不好，而是有更好的替代方案，可以用这些时间去学抽代和拓扑。我后来知道，王志涵学长还有七字班的三位学弟都是在大一一入学就修习了拓扑。
学了抽象代数，相当于打开了代数类的大门；学了拓扑学和微分流形，相当于打开了几何类的大门。
抽象代数：我是寒假自学了姚慕生的《抽象代数学》和Artin的《代数》。那时我感觉我的抽代中的群论部分已经没有问题了，于是大二上开设的抽象代数课我一节都没有去听过，考试只花了一半的时间就拿了满分。但学得好不好跟考试成绩的关系不大。
尽管我把姚慕生《抽象代数学》（这是我们的教材）看了三遍以上，自认为群论和环论掌握得不错，但是Galois理论却没学懂。徐凯学长也说，他当初学Galois理论的时候也碰到了困难，他推荐给我Hungerford的《代数》。
de Rham上同调里，积分这个操作带来了Poincare对偶。而有些同学是先在代数拓扑里，用奇异上同调学的Poincare对偶，虽然在代数上做法很自然，但是如果先有了de Rham上同调的背景，理解一般系数的同调的操作，就会好很多。
要想构造定义在整个流形上的东西，Cech上同调又会自然地出现，与之相伴的，还有谱序列。总之，几何是自然给我们人类的直观体验，在几何里发现好的数学，再做推广，要比闷头闷脑地把一般理论硬学下来舒服得多。
微分几何：李海中教授说：微分几何的口诀就是，用微积分的办法研究曲线曲面论。我看微分几何就只有一条：研究流形的弯曲。微分几何是一门比较古典的课程，但只有学了微分几何之后，才不会觉得黎曼几何里定义曲率张量很人为。
Cartan和陈省身在微分几何里发展了活动标架法，复几何里同样有关于向量丛上联络的计算，要理解它们，或者说理解“张量”这个概念是一个难点。尽管线代里讲了张量，微分流形里也讲了张量，但是一旦在微分几何或者复几何里用起来，尤其是在物理学家那里用起来的时候，你会发现很难理解他们在干的是同一件事情（用坐标分量、用张量的语言、用活动标架法），所以可以死皮赖脸的要学长给你讲清楚，如果他讲不清楚，那你就知道他也没学会这个东西。
四、大一统的理论：代数拓扑、代数几何
我觉得很多人会觉得我把代数拓扑和代数几何这两门课写成“大一统的理论”像是一个民科干出来的事情，我这里“大一统”是站在前面几何的角度上说的。代数拓扑把几何里的一些代数操作抽象出来，把 系数变成 系数，所有的事情都往universal的方向上走。代数几何也是一样，尽管我们经常说他是研究多项式的零点，这听起来像是高中解析几何，但实际上，上世纪五六十年代发展出来的概形的概念是把复几何里的代数操作抽象出来。
代数几何里遇到的层的上同调可以统一很多常见的上同调理论，在拓扑里学的常系数的上同调、或者群的上同调，这些都可以用层的语言来表述。
范畴论的观点是对数学的一次革命。六字班学弟吴雨宸就特别喜欢将一切东西范畴化。这样一来，几百年来数学各领域的诸多概念就可以被结构性的观点缩并起来。私以为“范畴化”这件事有改写数学史的可能。
但对于我这种普通天赋的人来说，代数几何和代数拓扑是不好学的。大二的时候，我尝试过自己去看Hartshorne的《代数几何》
这学期上了孙晟昊老师的代数几何2这门课，孙晟昊老师将Hartshorne第二三章中的细节完全补上，像对待代数小白一样教我们，甚至比扶磊老师的书还要耐心，那时我才知道原来那些半页纸不到的证明省去了多少不便写在书本上的细节。一学期学下来，也仅仅是知道了概形、层的上同调的概念，老师说，这虽然是代数几何课的结束，却仅仅是代数几何的开始，我也不知道接下来该往哪儿走。
代数拓扑也很类似，我同很多人一样，先学奇异同调。但除了会用长正合列之外，同调理论的证明、架构对于我而言都是一片模糊的，换句话说，也是被字典一样的书给看蒙了。最开始，我用长正合列，是不看每个箭头的映射到底是怎么给出来的，后来才发现如果讲同构而不去讲同构是怎么给出来的话，很多几何信息就被抛弃了。从Whitehead定理和Hurewicz定理中就可见一斑，如果有单连通CW复形之间的连续映射f诱导了整系数同调之间的同构，那么f是同伦等价，而这个同构f就是至关重要的，因为有很多同调群一样但两个空间不同伦等价的例子。
这个学期周坚教授要我去看Bott-Tu的《代数拓扑中的微分形式》。我利用寒假时间把Silverman的《椭圆曲线上的算术》：
大一：数学分析、线性代数、抽象代数、拓扑+自学流形的相关概念
大二：复分析、黎曼曲面、微分拓扑+Bott Tu的《代数拓扑中的微分形式》
大三：复几何、代数拓扑、代数几何
夸张点说，这应当是每个想学基础数学的同学必须要掌握的东西。
（欢迎大家讨论）
九、附录：课程大纲
分析类：
数学分析(1)：实数理论、极限、单变量微积分
数学分析(2)：多变量微积分、曲面上的积分
数学分析(3)：级数理论、傅立叶分析
实分析：测度论和Lebesgue积分
复分析(1)：最基本的复分析
复分析(2)：每年内容不一定，可能会讲有理函数的迭代问题、双曲度量
泛函分析：最基本的泛函分析
常微分方程：存在性、唯一性、延拓定理
偏微分方程(1)：波方程、热方程、泊松方程的存在唯一性
偏微分方程(2)：椭圆方程、双曲方程、抛物方程的存在唯一正则性
分析力学：Lagrange力学以及一些玄学
概率论：最基本的概率论
几何类：
微分流形：流形的概念以及流形上常见的研究对象
拓扑学：点集拓扑、基本群、复叠空间、同调理论
微分拓扑：流形的横截相交、逼近，Stokes定理，Poincare-Hopf定理
代数拓扑：同伦论、同调论
微分几何：曲线曲面论
黎曼几何：最基本的黎曼几何
黎曼曲面：黎曼曲面的几何与代数部分
复几何：复流形的上同调、Hodge理论
代数类：
线性代数(1)：矩阵与行列式
线性代数(2)：矩阵的对角化
代数学前沿基础：模论、范畴论、同调代数
抽象代数(1)：基本的群环域
抽象代数(2)：Galois理论，可能还会讲有限群的线性表示
代数数论(1)：赋值理论，素数定理
代数数论(2)：每年不一定
代数几何(1)：古典的variety
代数几何(2)：概形与层的上同调
李群李代数：复半单李代数的表示论
群表示论：有限群的复表示、模表示