独孤信印为什么在旬阳发现-独孤信印在哪里发现的

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今年高考题数学全国卷II中有一题把中国古代的一枚印信“挖掘”了出来。印信即印章。这枚印信是南北朝时期官员独孤信使用的印信。现藏于陕西历史博物馆。如下图所示。这枚印信可不一般。

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从数学角度考察它，其实，它是下面这样一种立体图形。

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题中说它是一个半正多面体。所谓半正多面体，就是这个多面体由两种或两种以上正多边形围成。我们知道什么是正多面体，即正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。就只有这五种正多面体。数量这么少，就是因为对它的要求太高，即要求围成它的每个面都是完全一样的正多边形。经过研究和计算，我们的三维空间中只能形成这五种正多面体。而半正多面体，当然没有正多面体那么严格的要求，但看起来仍然很对称、很美。半正多面体一共有13种。独孤信这枚印信的形状只是13种半正多面体中的一种。

这道高考题并未对这个半正多面体作过多说明，更没有说明它是怎么制作出来的。其实，它正式的名称叫做小斜方截半立方体。这个名称来自外文，我们不去管它是怎么取名的。我们可以从一个正方体切割出这个小斜方截半立方体。在正方体的每个面上画出一个最大的正八边形，有两种画法，如下图所示。

图1是一种画法。由图中那两个标以45度的角，我们可以得知AB=AO。而AO是正方形对角线长度的一半，所以，用圆规找点B很容易。同理可以在正方形四条边上确定出八个点，这八个点就是所作正八边形的八个顶点。图2是另一种画法。连接中心O’与一个顶点A‘。过O‘作一边的垂线，比如O‘B’，其中点B’为垂足。则角A‘O’B‘为45度。作这个45度角的平分线O’C‘。则角B’O’C‘的度数为22.5度。作这条角平分线O’C‘关于O’B‘的对称线段O‘D’。则角C’O‘D’等于45度，线段C’D‘为正八边形的一边。

以一对相对面上的正八边形为底面，切割出一个正八棱柱。然后，对另外两对相对之面，也进行类似的切割。这时的结果还离独孤信印信（小斜方截半立方体）有一步之遥。现在的结果如下图所示（局部，一个角落处）。下图中有三个斜面（红色），它们都是一种类似旅游景点指示牌的样子。

三个这样的“指示牌”的尖角形成一个正三棱锥（上图中三条黄线为这个正三棱锥的底面三角形的三边，锥顶向外突出）。把角上的正三棱锥沿黄线切掉。八个角都这么做，最终就得到了小斜方截半立方体。

这个切割方法是否就是独孤信那时制作这枚印信所使用的方法呢？但不管那时怎样，我们现在用这种方法，借助数控机床，是肯定可以精确制作出这样一枚小斜方截半立方体的。有会操作数控机床的朋友，不妨试一试。其他13种半正多面体都是可以制作出来的。在本公众号之前的很多篇文章中都有所介绍。

这道题考察和考验学生的空间想象能力（或用新名称：空间想象核心素养）。

原来的六个正方形面，切割后，缩小为六个面积小一些的正方形面。把原正方体的棱切割后（切割了12次），留下12个六边形面（双向指示牌？）。

最后把八个角上的正三棱锥切掉后，这12个六边形都变成了正方形，且与那六个位于原正方体面上的正方形面一样大小。而切割掉八个正三棱锥后留下八个正三角形面。结果一共是18个正方形面和8个正三角形面，一共是26个面。

多面体由面、棱和顶点构成。那么，这个小斜方截半立方体一共有多少条棱呢？可以这样计算：如果把18个正方形面和8个正三角形面全都互相分离开，那么，正方形面每个面有4条边，那18个正方形面就是72条边；每个正三角形面都有三条边，8个正三角形面就是24条边。所以，一共有72+24=96条边。但是，在这个半正多面体中，每条棱都是某两个面的公用边，所以，总棱数就是96除以2，即48条棱。

下面再来计算一下顶点数。当然可以一个个地数，也很容易数出来。但没有必要。数学这个词中虽然有“数”这个字，但数（三声）数（四声）绝对不是数学。这里介绍两种计算方法，一种是由多面体的欧拉公式V-E+F=2进行计算，其中V代表顶点数，E代表棱数，F代表面数。比如对正方体这个多面体，V=8，E=12，F=6，代入公式V-E+F=2，得8-12+6=2，成立。那么，对这个小斜方截半立方体，我们已经得知E=48，F=26，所以，V=2+E-F=2+48-26=24，即24个顶点。第二种方法是：一共有48条棱，每条棱有两个端点，一共应该96个端点。但由于每个端点连接着四条棱，所以，一共应该只有96除以4，等于24个顶点。可以这样做是因为这24个顶点“都是一样的”，即每个顶点都连接着四个面：一个正三角形面和三个正方形面（可以表示为3-4-4-4）。四个面当然在这个顶点处有四条棱交汇。这些顶点的地位相同，这正是半正多面体的一个重要特征。即顶点都是一样的。

还可以延伸出下面的知识：小斜方截半立方体的八个正三角形逐渐变小，最终变到没有时，小斜方截半立方体就演变为正方体（其中与正三角形有共用棱的12个正方形也随之变为一点，剩下六个正方形面）；反之，正三角形不变，让那6个与正三角形只有顶点相连的正方形变小，最终变为没有，12个斜着的正方形也随之变为没有，则小斜方截半立方体演变为一个正八面体。您自己看着下图想象一下。这锻炼您的空间想象能力。

半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体。我们大家都见过但可能并没有太过关注的传统黑白相间的足球，就是由另一种半正多面体设计并演变得来。下面几个图是“黑白足球”的演变得来过程：

它是由上图所示的一个正二十面体通过“截角”得到的。把每条棱三等分，从某一顶点出发在与这顶点相连接的五条棱上各找到一个较近的三等分点，从这五个点进行切割，切掉的是一个正五棱锥。如下图红线所示。切割后得到一个正五边形，如下图黑色正五边形。

每个顶点都这么切，最终就得到一个立体，这个立体叫做截角二十面体。

因为足球是用皮革制成的，所以，内胎充气后，黑白相间的截角二十面体的表面就成为球面了。上面说过半正多面体的每个顶点是地位相同的，这里可以用“足球”进行验证。您看一看，是不是在每个顶点处，都连接着三个多边形面，其中一个正五边形面（黑色），两个正六边形面（白色）。从每个顶点发出三条棱。所以，这个所谓的“足球”半正多面体可以表示为（5-6-6）。全部13种半正多面体都可以用类似的一组数组表示，它们各不相同。

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